CONCEPTOS
BÁSICOS DE PROBABILIDAD
Espacio muestral: conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio
Punto muestral o suceso elemental: el resultado de una sola prueba de un experimento muestral
Suceso o evento: cualquier subconjunto de puntos muestrales
Sucesos mutuamente excluyentes: sucesos o eventos que no pueden ocurrir simultaneamente .
Sucesos complementarios: dos sucesos o eventos mutuamente excluyentes cuya unión es el espacio muestral
Sucesos independientes: sucesos o eventos que no tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro
Sucesos dependientes: sucesos o eventos que sí tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno sí afecta la ocurrencia del otro.
Ejemplos de Probabilidad simple
Ejemplo:
Hay 87 canicas en una bolsa y 68 son verdes. Si se escoge una, ¿cuál es la
probabilidad de que esta sea verde?
Solución:
- Divide la cantidad de formas
de elegir una canica verde (68) por la cantidad total de canicas (87)
- 68 ÷ 87 = 0.781609
- Redondea a la precisión
deseada (es decir 0.781609 redondeado a centésimos es 0.78)
Si yo tengo una canasta llena de peras y manzanas, de las cuales hay 20 peras y
10 manzanas. ¿Qué fruta es más probable que saque al azar de la canasta?
Para este ejemplo tenemos que 30 es el total de frutas en la canasta; es decir los casos posibles. Para calcular la probabilidad de sacar una manzana mis casos favorables son 10 puesto que existen sólo 10 manzanas. Así, aplicando la fórmula obtenemos que:
P(Manzana)=10/30=1/3= 33.3% probable
Calculando igual, la probabilidad de sacar pera es:
P(Pera)=20/30=2/3= 66.7% probable
Como 66.7 es mayor que 33.3 es más probable que saque una pera, pues hay más peras que manzanas en la canasta.
2.- la probabilidad de que al lanzar un dado, salga el numero 2 es de
1/6
porque el dos es solo uno de 6 numeros que hay en total.
3.-En una sala de clases hay 20 mujeres y 12 hombres. Si se escoge uno de ellos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que lapersona escogida sea hombre?
Solución:
Por definición, la probabilidad de que un suceso ocurra viene dada por:
P=casos favorables/casos totales o posibles (P).
En particular, hay 12 hombres, por lo tanto son 12 los casos favorables a dicha selección. Pero ella se hará de un total de 20 + 12 = 32 personas sumamos la cantidad de mujeres y hombres que forman parte de la selección y por tanto, los casos posibles o totales.
Así, la probabilidad pedida es
P= 12/32
Para este ejemplo tenemos que 30 es el total de frutas en la canasta; es decir los casos posibles. Para calcular la probabilidad de sacar una manzana mis casos favorables son 10 puesto que existen sólo 10 manzanas. Así, aplicando la fórmula obtenemos que:
P(Manzana)=10/30=1/3= 33.3% probable
Calculando igual, la probabilidad de sacar pera es:
P(Pera)=20/30=2/3= 66.7% probable
Como 66.7 es mayor que 33.3 es más probable que saque una pera, pues hay más peras que manzanas en la canasta.
2.- la probabilidad de que al lanzar un dado, salga el numero 2 es de
1/6
porque el dos es solo uno de 6 numeros que hay en total.
3.-En una sala de clases hay 20 mujeres y 12 hombres. Si se escoge uno de ellos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que lapersona escogida sea hombre?
Solución:
Por definición, la probabilidad de que un suceso ocurra viene dada por:
P=casos favorables/casos totales o posibles (P).
En particular, hay 12 hombres, por lo tanto son 12 los casos favorables a dicha selección. Pero ella se hará de un total de 20 + 12 = 32 personas sumamos la cantidad de mujeres y hombres que forman parte de la selección y por tanto, los casos posibles o totales.
Así, la probabilidad pedida es
P= 12/32
Reglas de la suma de la probabilidad
Regla
de la Suma En la solución de algunos problemas es necesario considerar la
probabilidad de que ocurra un suceso A o un suceso B (o de que ambos ocurran)
como único resultado de un procedimiento. Esto se representa con la expresión P
(A o B). P (A o B)= P (Ocurre el suceso A u ocurre el suceso B o ambos)
Regla
de la Suma Suceso Compuesto: Es cualquier suceso que combina dos o más sucesos
simples. Para calcular la probabilidad de que un suceso A ocurra o un suceso B
ocurra, se calcula el número total de formas en que A puede ocurrir y el número
de formas en que B puede ocurrir, pero de tal forma que ningún resultado se
cuente más de una vez.
EJERCICIO:
Se gira una ruleta que
esta enumerada del 1 al 8. Contestemos lo siguiente:
1.- Al
girar la ruleta, ¿qué probabilidad existe de que la ruleta se detenga en...
a) El número 5 o 7? 1/8+1/8=2/8
b) Un número menor que 1 o 3?
c) Un múltiplo de 2 o de 3?
d) Un número impar o par?
Regla de la multiplicación
La regla
de la multiplicación establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o más
eventos estadísticamente independientes es igual al producto de sus
probabilidades individuales.
P(A y B)
= P(A B) = P(A)P(B) si A y B son independientes. P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B|A)
si A y B son dependientes
1. Regla
de multiplicación de probabilidades
Si se
tienen varios eventos sucesivos e independientes entre sí, la probabilidad de
que ocurran todos ellos a la vez corresponde a la multiplicación de las
probabilidades de cada uno de los eventos.
Ejemplos:
1. Si se responden al azar cuatro preguntas con cinco opciones cada una, ¿cuál es la probabilidad de acertar a todas?
1. Si se responden al azar cuatro preguntas con cinco opciones cada una, ¿cuál es la probabilidad de acertar a todas?
La
probabilidad de acierto en cada una de las preguntas es 1/5. Por lo tanto, la
probabilidad de acertar en las cuatro es:
2. Suponiendo
que la probabilidad de tener un hijo o una hija es ½, ¿cuál es la probabilidad
de que al tener tres hijos, 2 solamente sean varones?
Si H
representa el nacimiento de un hombre y M el de una mujer, tenemos los
siguientes casos favorables: HHM – HMH – MHH
La probabilidad de cada uno de estos eventos es:
La probabilidad de cada uno de estos eventos es:
Probabilidad
condicional
es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también
sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B),
y se lee «la probabilidad de A dado B».
No tiene
por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A
puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir
simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener
relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no
pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no
dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.
Un
ejemplo clásico es el lanzamiento de una moneda para luego lanzar un dado.
¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara (moneda) y luego un 6 (dado)? Pues
eso se escribiría como P (Cara | 6).
El condicionamiento
de probabilidades puede lograrse aplicando el teorema
de Bayes
Ejemplo 28: Una persona lanza una moneda 3 veces, ¿Cuál es la probabilidad de
obtener 3 águilas dado que salió por lo menos un águila?
Solución: El
espacio muestra del experimento de lanzar una moneda 3 veces es
S = {aaa,
aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss}
El evento
A de que por lo menos hay un águila en los tres lanzamientos es:
A = {aaa,
aas, asa, ass, saa, sas, ssa}
El evento
B de que obtenga 3 águilas es B = {aaa}
Por lo
tanto, AÇ B ={aaa} y
De donde
Nótese
que es la probabilidad de una
ocurrencia en las siete que son posibles en A; es decir, calcular la
probabilidad condicional de B dado A es como calcular la probabilidad de B con
relación al conjunto A, como si éste fuera un nuevo espacio muestra S* = A.
Proposición 3.5: Para dos eventos A y B cualesquiera del espacio muestra S,
Demostración: Para cualquier evento B,
P(AÇ B) = P(A) P(B/A) y P(ACÇ B) =
P(AC) P (B/AC)
Sustituyendo
en [3.3] se tiene P(B) = P(A) P(B/A) + P(AC) P (B/AC).
Obsérvese
que en un diagrama de árbol si se multiplica
P(A)
P(B/A) = P(AÇ B) y P(AC) P(B/AC) =
P(ACÇ B)
Ejemplo 29: Consideremos dos cajas, la caja 1
contiene 3 esferitas blancas y 4 rojas y la caja 2 contiene 8 blancas y 4
rojas. Se selecciona una caja al azar y luego se extrae una esfera al azar.
Hallar la probabilidad de que la esfera sea blanca.
Solución: Sea A el evento de seleccionar la
caja 1 y AC el evento de seleccionar la caja 2, entonces P(A) =
P(AC) = 1/2 ya que cualquiera de las dos cajas tiene la misma
probabilidad de ser extraída. Sea B el evento de seleccionar una esfera blanca,
entonces P(B/A) = 3/7 ya que en la caja 1 hay 3 esferas blancas en un total de
7 y P(B/AC) = 8/12 porque en la caja 2 hay 8 esferas blancas
en un total de 12.
Ahora
bien, por la proposición 3.5 tenemos:
La
interpretación más aceptada del teorema de Bayes, es
que su estructura permite el calculo de probabilidades después de haber sido
realizado un experimento (probabilidades aposteriori),
basándose en el conocimiento de la ocurrencia de ciertos eventos que dependan
del evento estudiado, o sea, se parte de probabilidades conocidas antes de
efectuar el experimento (probabilidades apriori), las
cuales son afectadas por las probabilidades propias del experimento (las que
aparecen durante la ocurrencia del evento).
Continuando
nuestro análisis sobre el teorema de Bayes, la
probabilidad condicional de Ai dado B,
para cualquier i, es:
Aplicando en
el numerador la Regla de Multiplicación P(AiÇB) = P(Ai)
P(B|Ai) y en el denominador el Teorema de
Probabilidad Total P(B) = P(A1)
P(B | A1) + P(A2) P(B | A2) + . . . + P(An) P(B | An),
obtenemos la ecuación que representa al:
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